22.1.刚体动力学#
Proof. 我们继续使用上一个证明中的记号，另外记 \(\boldsymbol v_i=\dot{\boldsymbol x}_i\)，\(\boldsymbol a_i=\ddot{\boldsymbol x}_i\)。选取质心为参考点，并记 \(\boldsymbol r_i=\boldsymbol x_i-\boldsymbol c\) 为质点 \(i\) 相对质心的位移。那么质点 \(i\) 所受外力力矩为 \(\boldsymbol\tau_i=\boldsymbol r_i\times\boldsymbol f_i\)，质点系统的角动量（angular momentum）为
(22.5)#\[
\boldsymbol J=\sum_{i=1}^N\boldsymbol r_i\times m_i\boldsymbol v_i。
\]
将式 (22.5) 两边对时间求导可得
\[\begin{split}
\dot{\boldsymbol J}&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum_{i=1}^N(\boldsymbol x_i-\boldsymbol c)\times m_i\boldsymbol v_i\\
&=\sum_{i=1}^N(\boldsymbol v_i-\boldsymbol v)\times m_i\boldsymbol v_i+\boldsymbol r_i\times m_i\boldsymbol a_i\\
&=\sum_{i=1}^N\boldsymbol v_i\times m_i\boldsymbol v_i+\boldsymbol v\times\sum_{i=1}^Nm_i\boldsymbol v_i+\sum_{i=1}^N\boldsymbol r_i\times m_i\boldsymbol a_i\\
&=\sum_{i=1}^N\boldsymbol r_i\times\left(\boldsymbol f_i+\sum_{j\ne i}\boldsymbol f^\mathrm{inner}_{ij}\right)\\
&=\sum_{i=1}^N\boldsymbol\tau_i+\sum_{i=1}^N\sum_{j=i+1}^N(\boldsymbol r_i\times\boldsymbol f^\mathrm{inner}_{ij}+\boldsymbol r_j\times\boldsymbol f^\mathrm{inner}_{ji})\\
&=\sum_{i=1}^N\boldsymbol\tau_i+\sum_{i=1}^N\sum_{j=i+1}^N(\boldsymbol r_i-\boldsymbol r_j)\times\boldsymbol f^\mathrm{inner}_{ij}\\
&=\boldsymbol\tau，
\end{split}\]
其中最后一步是因为两个质点之间的内力必然沿两点连线的方向。
将式 (22.1) 两边对时间求导，再利用式 (22.2) 可得 \(\boldsymbol v_i=\boldsymbol v+\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i\)，将此代入式 (22.5) 可得
\[\begin{split}
\boldsymbol J&=\sum_{i=1}^N\boldsymbol r_i\times m_i(\boldsymbol v+\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i)\\
&=\left(\sum_{i=1}^Nm_i\boldsymbol r_i\right)\times\boldsymbol v+\sum_{i=1}^Nm_i\boldsymbol r_i\times(\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i)\\
&=\sum_{i=1}^Nm_i[(\boldsymbol r_i\cdot\boldsymbol r_i)\boldsymbol\omega-(\boldsymbol r_i\cdot\boldsymbol\omega)\boldsymbol r_i]\\
&=\left(\sum_{i=1}^Nm_i(\Vert\boldsymbol r_i\Vert^2\mathbf I-\boldsymbol r_i\boldsymbol r_i^\top)\right)\boldsymbol\omega\\
&=\boldsymbol{I\omega}，
\end{split}\]
其中第二行等号后的 \(\sum_{i=1}^Nm_i\boldsymbol r_i=\mathbf 0\)，\(\boldsymbol r_i\times(\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i)=(\boldsymbol r_i\cdot\boldsymbol r_i)\boldsymbol\omega-(\boldsymbol r_i\cdot\boldsymbol\omega)\boldsymbol r_i\) 这个等式关系读者可以自行验证。上式的形式与动量与速度的关系 \(\boldsymbol p=m\boldsymbol v\) 在形式上十分相似，角动量 \(\boldsymbol J\) 与动量 \(\boldsymbol p\) 相对应，角速度 \(\boldsymbol\omega\) 与线速度 \(\boldsymbol v\) 相对应，惯性张量 \(\boldsymbol I\) 充当的就是质量 \(m\) 的角色。将上式的两边对时间求导可得
\[\begin{split}
\boldsymbol\tau=\dot{\boldsymbol J}&=\dot{\boldsymbol I}\boldsymbol\omega+\boldsymbol I\dot{\boldsymbol\omega}\\
&=\boldsymbol I\dot{\boldsymbol\omega}+(\dot{\boldsymbol R}\boldsymbol I_\mathrm{ref}\boldsymbol R^\top+\boldsymbol R\boldsymbol I_\mathrm{ref}\dot{\boldsymbol R}^\top)\boldsymbol\omega\\
&=\boldsymbol I\dot{\boldsymbol\omega}+([\boldsymbol\omega]\boldsymbol I-\boldsymbol I[\boldsymbol\omega])\boldsymbol\omega\\
&=\boldsymbol I\dot{\boldsymbol\omega}+\boldsymbol\omega\times\boldsymbol{I\omega}，
\end{split}\]
其中 \([\boldsymbol\omega]=\begin{bmatrix}0&-\omega_z&\omega_y\\\omega_z&0&-\omega_x\\-\omega_y&\omega_x&0\end{bmatrix}\) 为 \(\boldsymbol\omega\) 的叉乘矩阵，对于任一三维向量 \(\boldsymbol y\) 有 \([\boldsymbol\omega]\boldsymbol y=\boldsymbol\omega\times\boldsymbol y\)；第三个等号我们用了旋转矩阵的导数 \(\dot{\boldsymbol R}=[\boldsymbol\omega]\boldsymbol R\)，这可以借助式 (22.2) 通过 \(\boldsymbol X\) 的任意性推导出来。由此可立即得出式 (22.4)。